ظل هذا السؤال عالقا بذهن أرشميدس محاولا كيفية التوصل لحل له. وذات يوم دخل الحمام وغاص في بركة الماء وبعد قليل خرج من الحمام مسرعا وطاف بشوارع سيراكوس مرددا:
وجدتها.. وجدتها..
لم يكن أرشميدس (278 - 212 قبل الميلاد) مهوسا ولا مجنونا وإنما عالما موهوبا والذي وجده أرشميدس هو طريقة كشف الذهب الخالص عن الذهب المغشوش.
لقد رأى أرشميدس أثناء وجوده في بركة الماء أن وزن الماء المزاح من البركة، والمتساقط خارجها لابد أن يساوي وزن الأجزاء من جسمه المغمورة في الماء.
وبذلك توصل أرشميدس لواحد من أهم قوانين الفيزياء والذي عرف ب قانون طفو الأجسام داخل المياه والذي صار يعرف بقانون أرشميدس. وهو : أن وزن الجسم المغمور يساوي وزن الماء المزاح.
وبناء على ذلك استطاع أرشميدس حل لغز (التاج الذهبي) فقام بتجهيز كمية من الذهب الخالص معادلة في الوزن لوزن التاج، وبناء على ماتوصل إليه فقد كان من المفروض عند غمر هذه الكمية من الذهب في الماء أن يزيح نفس وزن الماء الذي يزيحه التاج. لكن ذلك لم يحدث.
بمعنى آخر :
إذا جئنا بقطعة من الذهب الخالص ذات وزن مساو لوزن التاج تماما ووضعناها في حوض مملوء بالماء حتى حافته، فسوف تزيح مقدارا معينا من الماء، وحينما نستبدل قطعة الذهب هذه بالتاج المساوي لها في الوزن فمن المفترض أن يزيح التاج نفس كمية المياه التي أزاحتها قطعة الذهب الخالص، أي سيعود مستوى المياه في الحوض إلى الحافة تماما، أما إذا أزاح التاج مقدارا إضافيا من المياه، فمعنى هذا أن حجمه الكلي أكبر من حجم قطعة الذهب المساوية له في الوزن، وبالتالي لابد وأن يكون التاج عندئذ مخلوطا بمعدن آخر تسبب في هذه الزيادة في الحجم لأن كثافته أقل من الذهب"
وبالتالي توصل إلى أن تاج الملك كان مصنوعا من الذهب المغشوش، وكان نتيجة ذلك إعدام الرجل الذي صنع تاج الملك والذي راح بذلك ضحية لقاعدة أرشميدس.
وفي سنة 209 قبل الميلاد جاء الجيش الروماني غازيا لسيراكوس.. ويذكر أن ذلك كان بسبب اختراعات أرشميدس المذهلة. وبعد حرب طويلة استطاعوا السيطرة على المدينة. وقاموا بقتل أرشميدس.
